Борис Алмазов родился в Ленинграде. Семья происходит из старинного казачьего рода, который упоминается в документах с 1632 года. Вся семья участвовала в Великой Отечественной войне. По окончании девятого класса средней школы Б. А. Алмазов, в связи с тяжелым материальным положением семьи, поступил на завод, где овладел профессиями токаря и слесаря, одновременно продолжая учебу в школе рабочей молодежи, которую закончил в 1961 году. В 1968 году закончил вечернее отделение театроведческого факультета Ленинградского Государственного института театра, музыки и кинематографии. За время обучения в институте сменил множество работ.