Родился 25 мая 1924 года в деревне Дертины Струго-Красненского района. В семье было четверо детей, Александр – старший. В 1939 году умер отец. Семья оказалась в тяжелом положении. Было решено отправить Александра учиться. В 1940 году, окончив семилетку, он уехал в Псков. Учился в фабрично-заводском училище, осваивал профессию строителя. После окончания училища был направлен на новостройки в Сибирь. Там, в Новосибирске, и застала его весть о начале войны. Возраст у него был непризывной – 17 лет, но он приписал себе год и ушел добровольцем на фронт.

Воевал отважно. В августе 1943 года Дроздов, участник Смоленской операции, получил орден Красной Звезды. В августе – октябре 1943 года 33-я армия в составе Западного фронта в упорных боях с группой немецких армий «Центр» освободила часть Смоленской, Калининской областей, начала освобождение Белоруссии. Во всех этих сражениях принимал участие Александр Дроздов. В феврале 1944 года он, старший сержант, был награжден медалью «За отвагу» и орденом Славы III степени.