Михаил Михайлович Мешков родился в семье нотариуса, до 1914 г. проживал с родителями в Селижарове, а в 1914–1931 гг. – в г. Торжке Калининской области. В 1924 г. он окончил школу II ступени и поступил в Новоторжский педтехникум, который окончил в 1928 г. со званием учителя начальной школы. В 1928–1931 гг. работал учителем опытной школы при педтехникуме, а в 1931 г. поступил на биологический факультет Ленинградского государственного университета, который окончил в 1936 г. по специальности «гидробиология и ихтиология». После этого поступил в аспирантуру университета, во время учебы участвовал в экспедициях АН СССР по исследованию рек, озер и морей СССР: оз. Ильмень, р. Маныч, Невской губы, ряда озер Ленинградской области.