Родился 31 мая 1980 года в селе Старая Гута Брянской области. В мае 1999 года призван в армию Унечским райвоенкоматом этой области. Парень с необычной фамилией, служивший в Псковской воздушно-десантной дивизии, зарекомендовал себя отличным солдатом, настойчиво постигавшим секреты воинского мастерства. И, оказавшись в Чечне вместе с однополчанами, проявил себя как бесстрашный воин.

Взвод, в котором служил гвардии рядовой Алексей Рассказа, 8 февраля 2000 года был внезапно атакован большой группой боевиков. В ходе завязавшегося боя Алексей действовал смело, мужественно, умело вел прицельный огонь по бандитам, нанося им урон. Не добившись результата, они были вынуждены отступить.

29 февраля в составе шестой роты Алексей Рассказа участвовал в операции по блокированию боевиков в районе Аргунского ущелья. Произошла стычка с ними. В ходе боя рядовой умело вел огонь по противнику из стрелкового оружия. Когда среди десантников появились раненые, он начал выносить их из-под обстрела. Утром 1 марта, отбивая очередную атаку противника, Алексей Рассказа погиб.

Похоронен он в г. Унеча Брянской области.

Указом и. о. Президента Российской Федерации В. В. Путина от 12 марта 2000 года А. В. Рассказе посмертно присвоено звание Герой России.