Юрий Васильевич Копейко родился  в Свердловске. В 1954 году окончил Московскую среднюю художественную школу при Академии художеств СССР, в 1959 — графическое отделение Московского полиграфического института. Дипломную работу — гравюры к роману Ф. М. Достоевского «Братья Карамазовы» защищал у руководителя курса, профессора А. Д. Гончарова.

Свой творческий путь начал с работы в журнале «Юность», затем стал оформлять и иллюстрировать книги.

В 1967 году был принят в Союз журналистов СССР, в 1970-м — в Союз художников СССР. В 1986 году назначен главным художником издательства «Малыш». К этому времени им было оформлено и проиллюстрировано более ста детских книг.

Ю. В. Копейко также плодотворно работал в космической теме — рисовал космонавтов, запуски космических ракет, приземление спускаемых аппаратов. Им были иллюстрированы книги Ю. Гагарина «Дорога в космос» и «Вижу землю…», Г. Титова «Семнадцать космических зорь», сборник рассказов «Космонавты рассказывают».

В 2002 году художник был избран действительным членом Российской академии космонавтики им. К. Э. Циолковского.